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Neben den zeitlich konstanten Strömen haben zeitlich
veränderliche, periodisch wiederkehrende Ströme und Spannungen eine Bedeutung.
Spannungen und Ströme, deren zeitlicher Mittelwert gleich Null ist, werden als
Wechselgrößen bezeichnet (soweit zur Definition).
Wechselströme und Spannungen können alle denkbaren Kurvenformen haben, die sinusförmige Kurvenform hat aber eine besondere Bedeutung. Dies liegt an der Tatsache, dass jede andere periodische Wechselgröße als eine Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden kann. Auch unsere technische Spannung, die aus der Steckdose kommt, hat einen sinusförmigen Verlauf.
Eine sinusförmige Spannung wie in obigem Bild kann beschrieben werden durch folgende mathematische Formel:
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mit der Kreisfrequenz
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T = Periodendauer
f = 1/T = Frequenz in der Einheit [1/s]
Aus obiger Formel (20) geht hervor, dass die Spannung von der Frequenz f abhängig ist.
Bei realen technischen Spannungen handelt es sich bei unserer Netzfrequenz um 50Hz (USA: 60Hz), bei Audio-Frequenzen um den Bereich von 20 Hz bis 20kHz.
Wichtig bei periodischen Wechselgrößen ist auch der Effektivwert.
Dieser berechnet sich bei beliebigen Kurvenformen von Wechselgrößen mit Hilfe der
Integralrechnung.
Hier soll dafür aber nur die Endformel für den Effektivwert einer sinusförmigen
Wechselspannung angegeben werden:
U = 0,707 û
Die obige Formel besagt, dass der Effektivwert der sinusförmigen Wechselspannung das 0,707-fache des Scheitelwertes ist. Für den Strom gilt der äquivalente Wert.
In der Wechselstromtechnik werden neben ohmschen Widerständen auch frequenzabhängige Bauelemente wie Kondensatoren und Spulen eingesetzt. Diese machen neben dem Einsatz des Ohmschen Gesetzes auch Methoden der Komplexen Rechnung zur Ermittlung von Widerstandswerten (ganuer Impedanzen) erforderlich. Diese komplizierten Methoden sollen hier nicht weiter erläutert werden. Es werden daher hier nur die Formeln für die Berechnung von frequenzabhängigen Widerständen aufgeführt, um später einfache Netzwerke berechnen zu können.
Bei einem Wechselstrom-Netzwerk mit einem ohmschen Widerstand ergibt sich folgender Sachverhalt:
Der ohmsche Widerstand ist kein frequenzabhängiges Bauelement, daher sind Spannung und Strom in gleicher Phasenlage wie in Bild b) zu sehen ist. Die Zeiger von Spannung und Strom zeigen in die gleiche Richtung.
Bei einem Wechselstromnetzwerk mit einem induktivem Widerstand (Spule) ergibt sich folgender Sachverhalt:
Die Spule ist ein frequenzabhängiges Bauelement, daher
sind Spannung und Strom nicht in gleicher Phasenlage. Die Augenblickswerte von Spannung
und Strom sind nicht einander proportional. Die Spannung eilt dem Strom um 90 Grad voraus
(siehe Bild b).
Die Ursache für diesen Sachverhalt kann man sich vereinfacht folgendermaßen vorstellen:
Die Spule ist ein stromspeicherndes Element. Dies bewirkt, dass diese beim Einschalten
einer Spannung zuerst die gesamte Spannung an der Spule anliegt, die Spule sich dem Aufbau
des Stromes aber erst widersetzt.
Stellt man Spannung und Strom als Zeiger dar, so stehen beide im Winkel von 90 Grad zueinander (Bild c).
Für den frequenzabhängigen Widerstand (induktiver Blindwiderstand) gilt:
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Das bedeutet, dass der induktive Blindwiderstand mit
steigender Frequenz größer wird. Aufgrund dieses Sachverhaltes kann man eine Spule für
die Beeinflussung von Frequenzen einsetzen. Ein Einsatzgebiet ist z.B. das
Tiefpass-Netzwerk.
In der Röhren-Verstärkertechnik wird die Spule aber meistens nur für die Dämpfung der
Welligkeit in Netzteil-Schaltungen eingesetzt.
Bei einem Wechselstromnetzwerk mit einem kapazitivem Widerstand (Kondensator) ergibt sich folgender Sachverhalt:
Der Kondensator ist ein frequenzabhängiges Bauelement,
daher sind Spannung und Strom nicht in gleicher Phasenlage. Die Augenblickswerte von
Spannung und Strom sind nicht einander proportional. Die Spannung eilt dem Strom um 90
Grad nach (siehe Bild b).
Diesen Sachverhalt muß man sich vereinfacht folgendermaßen vorstellen:
Ein Kondensator ist ein spannungs-speicherndes Element. Bei Anlegen einer Spannung an
einen Kondensator bildet der Kondensator einen Kurzschluß, damit fließt ein maximaler
Strom. Erst mit wachsender Spannung läßt der Stromfluß durch den Kondensator nach.
Stellt man Spannung und Strom als Zeiger dar, so stehen beide im Winkel von 90 Grad
zueinander (Bild c).
Für den frequenzabhängigen Widerstand (kapazitiver Blindwiderstand) gilt:
|
Aus obiger Formel ist zu erkennen, dass mit wachsender
Frequenz der kapazitive Blindwiderstand kleiner wird. Das negative Vorzeichen deutet
darauf hin, dass die Spannung dem Strom nacheilt.
Aufgrund dieses Sachverhaltes kann man einen Kondensator für die Beeinflussung von
Frequenzen einsetzen. Wegen seiner kostengünstigen Herstellungsverfahren wird dieses
Bauelement hauptsächlich in elektronischen Schaltungen eingesetzt (Hochpass, Tiefpass).
RC-Glieder werden in Spannungsteilerschaltungen eingesetzt, um ein frequenzabhängiges Verhalten zu realisieren. Solche Netzwerke nennt man Vierpole. Dabei wird der Frequenzgang des Vierpols betrachtet, und zwar das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung in Abhängigkeit der Frequenz:
Ein markanter Begriff ist die Grenzfrequenz, die sich per Definition ergibt:
Ua = 0,707 Ue.
Wird das Verhältnis von Ua / Ue in logritmischem Maß Dezibel aufgezeichnet, so ergibt sich die Grenzfrequenz bei einem Abfall von -3dB. Dies ist ein markanter Wert, den man sich merken sollte. Der Zeiger des Ausgangs-Signal hat dann einen nacheilenden/voreilenden Wert von 45 Grad.
Der Tiefpass ist ein Vierpol (Spannungsteilerschaltung) mit der Eigenschaft, dass die tiefen Frequenzen und Gleichstrom durchgelassen werden. Die hohen Frequenzen werden stark gedämpft oder garnicht durchgelassen.
| Ein Tiefpass besteht z.B.
aus einem Längswiderstand und einem Kondensator am Ausgang, der gegen Masse geschaltet
ist. Das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung bezeichnet man als Frequenzgang. Die Absolutwert von Ausgangsspannung Ua zu Eingangspanung Ue verhält sich entsprechend folgender Formel (auch als Amplitudengang bezeichnet):
Der Tiefpass hat ein Übertragungsverhalten, das die tiefen Frequenzen durchläßt und die hohen Frequenzen ab einer bestimmten Frequenz - der Grenzfrequenz - stark unterdrückt. Als Grenzfrequenz ergibt sich für den Tiefpass:
Die Amplitude der Ausgangsspannung ist bei dieser Frequenz um 45 Grad der Eingangsspannung nacheilend. Ab der Grenzfrequenz verringert sich die Amplitude um 3dB/Oktave. Dies ist ein typischer Wert für einen Tiefpass 1. Ordnung (d.h. ein Tiefpass mit einem freuquenzabhängigem Bauelement).
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Der Hochpass ist eine Spannungsteilerschaltung (oder auch Vierpol) mit der Eigenschaft, dass die hohen Frequenzen durchgelassen werden. Gleichstrom und die tiefen Frequenzen werden garnicht durchgelassen oder stark bedämpft.
| Ein Hochpass besteht z.B. aus
einem Längskondensator und einem Widerstand am Ausgang, der gegen Masse geschaltet ist.
Der Absolutwert von Ausgangsspannung Ua zu Eingangspanung Ue
verhält sich entsprechend folgender Formel (auch als Amplitudengang bezeichnet):
Der Hochpass hat ein dem Tiefpass entgegengesetzte Übertragungsverhalten. Dies bedeutet, tiefe Frequenzen werden bis zu einer bestimmten Frequenz - der Grenzfrequenz - abgeschwächt, hohe Frequenzen durchgelassen. Als Grenzfrequenz ergibt sich - wie beim Tiefpass - für den Hochpass:
Die Ausgangsspannung ist bei dieser Frequenz um 45 Grad voreilend gegenüber der Eingangsspannung. Bis zur Grenzfrequenz steigt die Amplitude der Ausgangsspannung um 3dB/Oktave. Dies ist ein typischer Wert für einen Hochpass 1. Ordnung (d.h. ein Hochpass mit einem freuquenzabhängigem Bauelement). |
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Noch ein Hinweis zu den hier aufgeführten Berechnungen:
Diese gelten nur, falls man die Vierpole durch die nachfolgende Schaltungen nicht belastet. Dies
trifft natürlich normalerweise nicht zu. Man kann aber diesen Zustand näherungsweise
annehmen, wenn man die Belastungs-Netzwerke so auslegt, dass deren Eingangswiderstand
einen 10 mal höheren Wert als der Ausgangswiderstand des Vierpols hat.
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Zuletzt geändert am: 25. Februar 2016
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